\chapter{1655年，沃利斯乘积公式的原始推导方法探究}
\author{李国斌}
\date{2025年9月8日}

\section{沃利斯的具体推导步骤}
\subsection{第一步：从几何问题到积分表达式的推导}

沃利斯的推导始于一个经典的几何问题：计算四分之一单位圆的面积。单位圆的方程为：
\[
x^2 + y^2 = 1
\]
在第一象限中，可解得：
\[
y = \sqrt{1 - x^2}
\]

四分之一圆的面积即为：
\[
A = \int_0^1 \sqrt{1 - x^2}  dx = \frac{\pi}{4}
\]

\subsubsection{沃利斯的巧妙转化}

沃利斯意识到，要计算这个积分，可以考虑更一般的积分族：
\[
I(p, q) = \int_0^1 (1 - x^{1/q})^p  dx
\]
其中$p, q$为正整数。

他特别关注了$q = 2$的情形，即：
\[
I(p, 2) = \int_0^1 (1 - \sqrt{x})^p  dx
\]

通过变量代换$x = t^2$，$dx = 2t dt$，可得：
\[
I(p, 2) = \int_0^1 (1 - t)^p \cdot 2t  dt = 2\int_0^1 t(1 - t)^p  dt
\]

\subsubsection{与四分之一圆面积的联系}

关键的一步在于注意到：
\[
\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2}
\]
这提示沃利斯考虑更一般的表达式：
\[
J(n) = \int_0^1 (1 - x^2)^n  dx
\]

当$n = 1/2$时，这正是四分之一圆的面积：
\[
J(1/2) = \int_0^1 (1 - x^2)^{1/2}  dx = \frac{\pi}{4}
\]

\subsubsection{沃利斯的核心洞察}

沃利斯的重大突破在于考虑比值：
\[
R(n) = \frac{J(n)}{J(n + 1/2)} = \frac{\int_0^1 (1 - x^2)^n  dx}{\int_0^1 (1 - x^2)^{n + 1/2}  dx}
\]

这个比值的巧妙之处在于：
1. 当$n$为整数时，分子和分母都可以精确计算
2. 当$n = -1/2$时，分母变为$\int_0^1 (1 - x^2)^0  dx = 1$，分子正是四分之一圆面积
3. 通过研究$R(n)$在整数点的行为，可以插值得到$n = -1/2$时的值

\begin{figure}[h]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
		% Draw axes
		\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
		\draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};
		
		% Draw curves for different n
		\draw[blue, thick, domain=0:1] plot (\x, {pow(1 - \x*\x, 0.5)}); % n = 1/2
		\draw[red, thick, domain=0:1] plot (\x, {pow(1 - \x*\x, 1)});   % n = 1
		\draw[green, thick, domain=0:1] plot (\x, {pow(1 - \x*\x, 2)}); % n = 2
		
		% Shade areas under curves
		\fill[blue!20, domain=0:1] (0,0) -- plot (\x, {pow(1 - \x*\x, 0.5)}) -- (1,0) -- cycle;
		\fill[red!20, domain=0:1] (0,0) -- plot (\x, {pow(1 - \x*\x, 1)}) -- (1,0) -- cycle;
		\fill[green!20, domain=0:1] (0,0) -- plot (\x, {pow(1 - \x*\x, 2)}) -- (1,0) -- cycle;
		
		% Labels
		\node[blue] at (0.3,0.8) {$n=1/2$};
		\node[red] at (0.5,0.5) {$n=1$};
		\node[green] at (0.7,0.2) {$n=2$};
		\node at (1.5,1.5) {$y = (1 - x^2)^n$};
		
		% Coordinate points
		\draw (1,0) node[below] {1};
		\draw (0,1) node[left] {1};
	\end{tikzpicture}
	\caption{不同$n$值时函数$(1-x^2)^n$的图像及对应积分面积}
	\label{fig:wallis_integrals}
\end{figure}

\subsection{第二步：计算整数点的积分值}

对于正整数$n$，沃利斯能够精确计算$J(n)$的值。通过分部积分或递推关系，他得到：

\[
J(n) = \int_0^1 (1 - x^2)^n  dx = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\]

其中$(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)$，$(2n+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n+1)$。

类似地，对于半整数情况：
\[
J(n + 1/2) = \int_0^1 (1 - x^2)^{n + 1/2}  dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \cdot \frac{1}{n + 1/2}
\]

\subsection{第三步：建立比值关系}

因此，比值$R(n)$可以表示为：
\[
R(n) = \frac{J(n)}{J(n + 1/2)} = \frac{\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}}{\frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \cdot \frac{1}{n + 1/2}} = \frac{n + 1/2}{\pi/2} = \frac{2n + 1}{\pi}
\]

沃利斯计算了前几个整数值：
\begin{align*}
	R(0) &= \frac{1}{\pi} \\
	R(1) &= \frac{3}{\pi} \\
	R(2) &= \frac{5}{\pi} \\
	R(3) &= \frac{7}{\pi} \\
	&\vdots \\
	R(n) &= \frac{2n + 1}{\pi}
\end{align*}

他发现了一个简单的线性关系：$R(n)$与$n$成正比。

\subsection{第四步：插值法的关键应用}

现在，沃利斯需要求$R(-1/2)$的值。根据定义：
\[
R(-1/2) = \frac{J(-1/2)}{J(0)} = \frac{\int_0^1 (1 - x^2)^{-1/2}  dx}{\int_0^1 (1 - x^2)^0  dx} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}
\]

但如果直接使用他发现的线性关系$R(n) = \frac{2n + 1}{\pi}$，在$n = -1/2$时：
\[
R(-1/2) = \frac{2(-1/2) + 1}{\pi} = \frac{0}{\pi} = 0
\]

这与实际值$\pi/2$矛盾！这个矛盾促使沃利斯寻求更复杂的插值方法。

\begin{figure}[h]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			width=0.8\textwidth,
			height=6cm,
			xlabel=$n$,
			ylabel=$R(n)$,
			legend pos=north west,
			grid=major,
			title={沃利斯比值$R(n)$的线性关系与插值问题},
			ymin=-0.5, ymax=3.5
			]
			
			% Linear relationship for integers
			\addplot[blue, only marks, mark=*] coordinates {
				(0, 0.318)    % 1/π ≈ 0.318
				(1, 0.955)    % 3/π ≈ 0.955
				(2, 1.592)    % 5/π ≈ 1.592
				(3, 2.229)    % 7/π ≈ 2.229
				(4, 2.866)    % 9/π ≈ 2.866
			};
			
			% Linear extrapolation
			\addplot[red, dashed, domain=-1:5] {0.318 + 0.637*x};
			\node[red] at (2,3.2) {$R(n) = \frac{2n + 1}{\pi}$};
			
			% Actual value at n = -0.5
			\addplot[green, only marks, mark=square*, mark size=3pt] coordinates {
				(-0.5, 1.571)    % π/2 ≈ 1.571
			};
			\node[green, above] at (-0.5,1.7) {$R(-1/2) = \pi/2$};
			
			% Contradiction point
			\addplot[black, only marks, mark=x, mark size=4pt] coordinates {
				(-0.5, 0)    % Linear prediction
			};
			\node[black, below] at (-0.5,-0.2) {线性预测值};
			
			\legend{整数点值, 线性关系, 实际值, 矛盾点}
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}
	\caption{沃利斯发现的矛盾：线性外推与实际情况不符}
	\label{fig:wallis_contradiction}
\end{figure}

\subsection{第五步：转向乘积形式的推导}

面对这个矛盾，沃利斯转而考虑乘积形式。他观察到比值$R(n)/R(n-1)$呈现简单的规律：

\[
\frac{R(n)}{R(n-1)} = \frac{\frac{2n+1}{\pi}}{\frac{2n-1}{\pi}} = \frac{2n+1}{2n-1}
\]

这给出了一个递推关系：
\[
R(n) = \frac{2n+1}{2n-1} R(n-1)
\]

通过迭代这个关系，沃利斯得到：
\begin{align*}
	R(1) &= \frac{3}{1} R(0) \\
	R(2) &= \frac{5}{3} R(1) = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1} R(0) \\
	R(3) &= \frac{7}{5} R(2) = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1} R(0) \\
	&\vdots \\
	R(n) &= \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{5} \cdots \frac{2n+1}{2n-1} R(0)
\end{align*}

由于$R(0) = 1/\pi$，最终得到：
\[
R(n) = \frac{1}{\pi} \prod_{k=1}^n \frac{2k+1}{2k-1}
\]

这个推导清晰地展示了沃利斯是如何从几何问题出发，通过巧妙的比值构造、精确计算、模式发现，最终导向无穷乘积形式的完整思路过程。